◎歷二
▲大統歷法一上(法原)
造歷者各有本原,史宜備錄,使后世有以考。如《太初》之起數鐘律,《大衍》之造端蓍策,皆詳本志?!妒跁r歷》以測算術為宗,惟求合天,不牽合律呂、卦爻。然其法所以立,數之所從出,以及晷影、星度,皆有全書。郭守敬、齊履謙傳中,有書名可考?!?a href='http://www.fragilecpr.com/guoxue/yuanshi/' target='_blank'>元史》漫無采摭,僅存李謙之《議祿》、《歷經》之初稿。其后改三應率及立成之數,與夫割圓弧矢之法,平立定三差之原,盡削不載。使作者精意湮沒,識者憾焉。今據《大統因通軌》及《歷草》諸書,稍為編次,首法原,次立成,次推步。而法原之目七:曰句股測望,曰弧矢割圓,曰黃赤道內外度,曰白道交周,曰日月五星平立定三差,曰里差刻漏。
▲句股測望
北京立四丈表,冬至日午正,測得景辰七丈九尺八寸五分。隨以簡儀測到太陽南至地平二十六度四十六分半,為半弧背。求得矢度,五度九十一分半。置周天半徑,截矢余五十四度九十六分為股,乃本地支戴日下之度。以弦股別句術,求得句二十六度一下七分六十六秒,為日出地半弧弦。
北京立四丈表,夏至日午正,測得景長一丈一尺七寸一分。隨以簡儀測到太陽南至地平七十四度二十六分半,為半弧背。求得矢度,四十三度七十四分少。置周天半徑,截矢余一十七度一十三分二十五秒為句,乃本地去戴日下之度。以句弦別股術,求得股五十八度四十五分半,為日出地半弧弦。
以二至日度相并,得一百度七十三分,折半得五十度三十六分半,為北京赤道出地度。以赤道出地度轉減周天四之一,余四十度九十四分九十三秒七十五微,為北京北極出地度。
▲弧矢割圓
周天經一百二十一度七十五分少。(少不用。)半徑六十零度八十七分半。(又為黃赤道大弦。)二至黃赤道內外半弧背二十四度。(所測就整。)二至黃赤道弧矢四度八十四分十二秒。黃赤道大句二十三度八十分七十秒。黃赤道大股五十六度零二分六十八秒。(半徑內減去矢度之數。)
割圓求矢術 置半弧度自之,為半弧背幕,周天徑自之,為上廉。上廉乘半弧背幕,為正實。上廉乘徑,為益從方。半弧背倍之,乘徑,為下廉。以初商乘上廉,得數以減益從方,余為從方。置初商自之以下廉,余以初商乘之,為從廉。從方、從廉相并,為下法。下法乘初商,以減正實,實不足減,改初商。實有不盡,次第商除之。倍初商數,與次商相并以乘上廉,得數以減益從方,余為從方。并初商次商而自之,又以初商自之,并二數以減下廉,余以初商倍數并次商乘之,為從廉。從方、從廉相并,為下法。下法乘次商,以減余實,而定次商。有不盡者,如法商之,皆以商得數為矢度之數。(黃赤道同用。)
如以半弧背一度求矢。術曰:置半弧背一度自之,得一度,為半弧幕。置周天徑一百二十一度太自之,得一萬四千八百二十三度零六分二十五秒,為上廉。上廉乘半弧背幕,得一萬四千八百二十三度零六分二五,為正實。上廉又乘徑,得一百八十零萬四千七百零七度八十五分九十三秒七五,為益從方。半弧背一度倍之,得二度,以乘徑得二百四十三度五十分,為下廉。初商八十秒。置初商八十秒乘上廉一萬四千八百二十三度零六二五,得一百一十八度五八四五,以減益從方一百八十零萬四千七百零七度八五九三七五,余一百八十零萬四千五百八十九度二七四八七五,為從方。又置初商八十秒自之,得六十四微,以減下廉余二百四十三度四九九三六。仍以八十秒乘之,得一度九四七九九九四八八,為從廉。以從廉、從方并之,共得一百八十零萬四千五百九十一度二二二八七四四八八,為下法。下法乘初商,得一萬四千四百三十六度七十二分九七八二九九五九零四,以減正實,余實三百八十六度三十三分二七一七零零四零九六。次商二秒。置初商八十秒倍之,得一分六十秒。加次商二委六十二秒,乘上廉一萬四千八百二十三度零六二五,得二百四十零度一三三六一二五,以減益從方,余一百八十零萬四千四百六十七二五七六二五,為從方。又置初次商八十二秒自之,得六十七微。加初商八十秒自之之數,得一秒三十一微,以減下廉,余二百四十三度四九九八六九。以前所得一分六十二秒乘之,得三度九十四分四六九七八七七八,為從廉。以從廉、從方并,得一百八十零萬四千四百七十一度六十七分零四六零三七八,為下法。下法乘次商,得三百六十零度八九四三三四零九二零七五五六,以減余實,仍余二十五度四三八三八二九一二零二零四四。(不足一秒葉不用,下同。)
凡求得矢度八十二秒,余度各如上法,求到矢度,以為黃赤相求及其內外度之根。(數詳后。)
▲黃赤道差
求黃赤道各度下赤道積度術?!≈弥芴彀霃絻葴p去黃道矢度,余為黃赤道小弦。置黃赤道小弦,以黃赤道大股乘之(大股見割圓)為實。黃赤道大弦(半徑)為法。實如法而一,為黃赤道小股。直黃道矢自乘為實,以周天全徑為法,實如法而一,為黃道半背弦差。以差去減黃赤道積度,(即黃道半弧背。)余為黃道半弧弦。置黃赤道半弧弦自之為股幕,黃赤道小股自之為句幕,二幕并之,以開平方法除之,為赤道小弦。置黃赤道半弧弦,以周天半徑(亦為赤道大弦)乘之為實,以赤道小弦為法而一,為赤道半弧弦。置黃赤道小股,(亦為赤道橫小句)以赤道大弦(即半徑)乘之為實,以赤道小弦為法而一,為赤道橫大句,以減半徑,余為赤道磺弧矢。橫弧矢自之為實,以全徑為法而一,為赤道半背弦差。以差加赤道半弧,為赤道積度。
如黃道半弧背一度,求赤道積度。術曰:“置半徑六十零度八十七分五十秒,(即黃赤道大弦。)內減黃道矢八十二秒余六十零度八六六八,為黃赤道小弦。置黃赤道小弦,以黃赤道大股五十六度零二六八乘之,得三千四百一十零度一七二零三零二四為實,以黃赤道大弦六十零度八七五為法,實如法而一,得五十六度零一分九十二秒,為黃赤道小股。(又為赤道小句。)置矢度八十二秒自之,得六十七微,以全徑一百二十一度七五為法,除之得五十五纖,為黃道平半背弦差。置黃道半弧弦一度,內減黃道半背弦差,余為半弧弦,因因差在微以下不減,即用一度為半弧弦。置黃道半弧弦一度自之,得一度為股幕。黃赤道小股五十六度零一矣二自之,得三千一百三十八度一五零七六八六四為句幕。二幕并得三千一百三十九度一五零七六八六四為弦實,平方開之,得五十六度零二八一,為赤道小弦。置黃道半弧弦一度,以半徑(即赤道大弦)乘之,得六十零度八七五為實,以赤道小股五十六度零二八一為法除之,得一度零八分六十五秒,為赤道半弧弦。置黃赤道小股五十六度零一九二,(又為赤道小句。)以赤道大弦(半徑)六十零度八七五乘之,得三千四百一十零度一六八八為實,以赤道小弦為法除之,得六十零度八十六分五十三秒,為赤道橫大句。置半徑六十零度八十七分五十秒,內減赤道大句六十零度八十六分五十三秒,余九十七秒,為赤道橫弧矢。置赤道橫弧矢九十七秒自之,得九十四微零九,以全徑為法除之,得七十纖,為赤道背弦差。置赤道半弧弦一度零八分六十五秒,加赤道背弦差,為赤道積度,今差在微已下不加,即用半弧弦為積度。
凡求得赤道積度一度零八分六十五秒。余度各如上法,求到各黃道度下赤道積,兩數相減,即得黃赤道差,乃至后之率。其分后,以赤道度求黃道,反此求之,其數并同。
▲黃赤道相求弧矢諸率立成上
(表格略)
▲黃赤道相求弧矢諸率立成下
(表格略)
按郭敬創法五端,內一曰黃道差,此其根率也。舊法以一百一度相減乘?!妒跁r》立術,以句股、弧矢、方圓、斜直所容,求其數差,合于渾象之理,視古為密。顧《至元歷經》所載略,又誤以黃道矢度為積差,黃道矢差為率,今正之。
▲割圓弧矢圖
凡渾圓中剖,則成平圓。任割平圓之一分,成弧矢形,皆有弧背,有弧弦,有矢。剖弧矢形而半之,則有半弧背,有半弧弦,有矢。因弦矢句股形,以半弧弦為句,矢減半徑之余為股,半徑為弦。句股內成小句股,則有小句、小股、小弦、而大小可互求,平側可互用,渾圓之理,斯為密近。
平者為赤道,斜者為黃道。因二至黃道赤之距,生大句股。因各度黃赤之距,生小句股。
外大圓為赤道。從北極平視,則黃道在赤道內,有赤道各度,即各有其半弧弦,以生大名股。又各有其相當之黃道半弧弦,以生小句股。此二者皆可互求。
按舊史無圖,然表亦圖之屬也。今句股割弧矢之法,實為歷家測算之本。非圖不明,因存其要者數端。
▲黃赤道內外度
推黃道各度,距赤道內外及去極遠近術。置半徑內減去赤道小弦,余為赤道二弦差。(又為黃赤道小弧矢,又為內外矢,又為股弦差。)置半徑內外減去黃道矢度,余為黃赤道小弦,以二至黃赤道內外半弧弦乘之為實,以黃赤道大弦為法,(即半徑。)除之為黃赤道小弧弦。(即黃赤道內外半弧弦,又為黃赤道小句。)置黃赤道小弧矢自之,(即赤道二弦差。)以全徑除之,為半背弦差。以差加黃赤道小弧弦為黃赤道小弧半背,即黃赤道內外度。置黃赤道內外度,視在盈初縮末限以加,在縮初盈天限以減,皆加減象限度,即各得太陽去北極度分。
如冬至后四十四度,求太陽去赤道內外及去極度。術曰:“置半徑六十零度八十七分半,內減黃道四十四度下赤道小弦五十八度三十五分六十九秒,余二度五十一分八十一秒,為黃赤道小弧矢。(即內外矢。)置半徑六十零度八七五,內減黃道四十四度,矢一十六度五十六分八十二秒,余四十四三十零分六十八秒,為黃赤道小弦。置黃赤道小弦,以二至黃赤道內外半弧弦二十三度七十一分乘之,得一千零五十零度五十一分四二三八為實,以黃赤道大弦六十零度八七五為法除之,得一十七度二十五分十九秒為黃赤道小弧弦。(即內外半弧弦。)置黃赤道小弧矢二度五十一分八十一秒自之為實,以全徑地百二十一度七十五分除之,得五分二十一秒為背弦差,以差加黃赤道小弧弦一十七度二十五分六十九秒,得一十七度三十零分八十九秒,為二至前后四十四度,太陽去赤道內外度。置象限九十一度三十一分四十三秒七五,以內外度一十七度三零八九加之,得一百零八度六十二分三十二秒七五,為冬至后四十四度太陽去北極度。
▲黃道每度去赤道內外及去北極立成
(表格略)
▲白道交周
推白赤道正交,距黃赤道正交北極數。術曰:“置實測白道出入黃道內外六度為半徑弧弦,又為大圖弧矢,又為股弦差。置半徑六十零度七五自之,得三千七百零五度七六五六二五,以矢六度而一,得六百一十七度六十三分為股弦和,加矢六度,共六百二十三度六十三分為大圓徑。依法求得容闊五度七十分,又為小句。又以二至出入半弧弦二十三度七十一分為大句。以大句為法,除大股五十六度零六分五十秒,得二度三十七分(就整)為度差。以度差乘小句,得小股一十三度四十七分八十二秒,為容半長。置半徑六十零度八七五為大弦,以乘小句五度七十分為實,以大句二十三度七十一分為法除之,得一十四度六十三分為小弦,又為白赤道正交,距黃赤道正交半弧弦?!∫婪ㄇ笮邪牖”骋皇亩攘?,為白赤道正交距黃赤道正交極婁數。
關鍵詞:明史,志
制定歷法的人各有自己的淵源,史書應該詳盡采錄,使后世有參考的依據。
如《太初歷》起源于音律,《大衍歷》發端于蓍卜,都詳細見于本歷志。
《授時歷》以測量檢駿推算焉宗旨,祇求與天相合,不牽強附會音律、卦爻。
然而它立法的依據.數據的出處,以及日晷影長、行星度數,都有完整的書籍。
郭守堃、查履謙的傳中,有書名可考。
《元史》全沒有采錄,現僅存奎盞的《議錄》、《歷經》的初稿。
后來改變三應率及數據表的數據,和割圓弧矢的方法、平立定三差的來源,都刪去沒有記載。
使作者的精辟見解湮汝無聞,有見識的人都為此感到道憾。
現在根據《大統歷通軌》及《歷草》等書,稍加編排,首先是歷法原理,其次是數據表,再其次是推算。
而歷法原理的細目有七項,是勾股測望,弧矢割圓,黃赤道差,黃赤道內外度,白道交周,日月五星平立定三差,里差刻漏。
在北京立四丈高的標尺,冬至日正午,測得影長七丈九尺八寸五分。
隨即用簡儀測得太陽南至地平二十六度四十六分半,焉半弧背。
求得矢度為五度九十一分半。
將周天半徑,減去矢度,剩余五十四度九十六分為股,就是本地離頭頂上太陽的度數。
用以弦股求勾的方法,求得勾為二十六度十七分六十六秒,就是太陽出地的半弧弦。
在北京立四丈高的標尺,夏至日正午,測得影長一丈一尺七寸一分。
隨即用簡儀測到太陽南至地平七十四度二十六分半,為半弧背。
求得矢度為四十三度七十四分又四分之一。
將周天半徑,減去矢度,剩下十七度十三分二十五秒焉勾,就是本地離頭頂上太陽的度數。
用以勾弦求股的方法,求得股為五十八度四十五分半,就是太陽出地的半弧弦。
將冬至夏至太陽南至地平的度數相加,得一百度七十三分,折半得五十度三十六分半,為北京的赤道出地度數。
以赤道出地度轉減周天的四分之一,余四十度九十四分九十三秒七十五微,就是北京的緯度。
周天圓的直徑為一百二十一度七十五分又四分之一。
四分之一不用。
半徑為六十度八十七分半。
又是黃道赤道的大弦。
冬至夏至黃道赤道內外半弧背為二十四度。
所測敷取整數。
冬至夏至黃道赤道弧矢為四度八十四分八十二秒。
黃道赤道大勾為二十三度八十分七十秒。
黃道床道大股為五十六度零二分六十八秒。
半徑內減去矢度。
割圓求矢的方法。
將半弧背的度數自乘,就是半弧背的冪。
將周天圓的直徑自乘,就是上廉。
上廉乘半弧背的冪,就是正實。
上廉乘以天圓直徑,就是益從方。
半弧背乘以二,乘以天圓直徑,就是下廉。
用初商乘上廉,再用益從方減去這個得數,余數就是從方。
將初商自乘并用下廉減自乘的得數,余數乘以初商,就是從廉。
從方和從廉相加,就是下法。
下法乘以初商,再用正寅減去此數,如正賞不夠減,就改用初商。
正實還有余數,依次用商除下去。
將初商乘以二,與次商相加并乘以上廉,再用益從方減去乘積,余數為從方。
將初商和次商相加并自乘,又將初商自乘,然后兩數相加,再用下廉城此數,余數用初商的二倍加次商輿之相乘,就是從廉。
從方和從廉相加,就是下法。
下法乘以次商,再用余實堿此數,從而確定次商。
如還有余數,用同樣的方法計算,商的得敷就是矢的度數。
黃道赤道同用這一度數。
例如以半弧背一度來求矢的度數。
方法是:將半弧背一度自乘,得敷為一度,是半弧背的冪。
將天圓直徑一百二十一度又四分之三自乘,得一萬四千八百二十三度零六分二十五秒,就是上廉。
上廉乘以半弧背的冪,得一萬四千八百二十三度零六分二十五秒,就是正實。
上廉又乘天圓直徑,得一百八十萬四千七百零七度八十五分九十三秒七五,就是益從方。
半弧背一度加倍,得二度,乘以天圓直徑得二百四十三度五十分,就是下廉。
初商八十秒。
將初商八十秒乘以上廉一萬四千八百二十三度零六二五,得一百一十八度五八四五,再用益從方一百八十萬四千七百零七度八五九三七五減此數,余一百八+葛四千五百八十九度二七四八七五,就是從方。
又將初商八十秒自乘,得六十四微,再用下廉減此敷,余二百四十三度四九九九三六。
仍然用八十秒乘此余數,得一度九四七九九九四八八,就是從廉。
將從廉和從方相加,共得一百八十萬四千五百九十一度二二二八七四四八八,就是下法。
下法乘以初商,得一萬四千四百三十六度七十二分九七八二九九五九零四,再用正實藏去此數,得余實三百八十六度三十三分二七一七零零四零九六。
次商二秒。
將初商八十秒加倍,得一分六十秒。
加次商二秒,得一分六十二秒,乘以上廉一萬四千八百二十三度零六二五,得二百四十度一三三六一二五,再用益從方減此數,余一百八十萬四千四百六十七度七二五七六二五,就是從方。
又將初商和次商八十二秒自乘,得六十七微。
加上初商八十秒自乘之數,得一秒三十一微,用下廉減此敷,余二百四十三度四九九八六九。
乘以前面所得到的一分六十二秒,得三度九十四分四六九七八七七八,就是從廉。
將從廉和從方相加,得一百八十萬四千四百七十一度六十七分零四六零三七七八,就是下法。
將下法乘以次商,得三百六十度八九四三三四零九二零七五五六,用余實減此敷,還余二十五度四三八三八二九一二零二零四四。
不足一秒舍棄不用,以下同。
求得矢的度數共八十二秒,剩余部分繼續用上列方法計算。
求得矢的度數,作為黃道赤道相求及求二者內外度的根。
數據詳見后文。
求黃道各度之下赤道度數的方法。
將天圓的半徑減去黃道矢的度數,余數焉黃道赤道的小弦。
將黃道赤道的小弦,乘以黃道赤道的大股大股見弧矢割圓作為被除數。
黃道赤道的大弦天圓半徑作為除數。
兩數相除,就是黃道赤道的小股。
將黃道的矢自乘作為被除數,以天圓的直徑作為除數,兩數相除,就是黃道半背弦差。
用黃道積度即黃道半弧背減這個差,余數就是黃道半弧弦。
將黃道半弧弦自乘作為股的冪,黃道赤道小股自乘作為勾的冪,兩個冪相加,開平方,就是赤道小弦。
將黃道的半弧弦,乘以天圓的半徑也是赤道大弦作為被除數,以赤遒小弦作為除數與之相除,就是赤道的半弧弦。
將黃道赤道的小股,也是赤道的橫小勾。
用赤道大弦即半徑相乘作為被除數,以赤道小弦作為除數與之相除,就是赤道橫大勾,再用半徑減赤道橫大勾,余數就是赤道橫弧矢。
將橫弧矢自乘作為被除數,以直徑作為除數與之相除,就是赤道的半背弦差。
以半背弦差加赤道半弧弦,就是赤道的度數。
如黃道半弧背為一度,求赤道的度數。
方法是:將半徑六十度八十七分五十秒,即黃道赤道大弦。
黃道的矢八十二秒,余六十度八六六八,就是黃道赤道小弦。
將黃道赤道小弦,乘以黃道赤道大股五十六度零二六八,得三千四百一十度一七二零三零二四作為被除數,以黃道赤道大弦六十度八七五作為除數,兩敷相除,得五十六度零一分九十二秒,就是黃道赤道的小股。
又是赤道小勾。
將矢的度數八十二秒自乘,得六十七微,以天圓直徑一百二十一度七五作為除數,輿之相除得五十五纖,就是黃道半背弦差。
將黃道半弧背一度,減黃道半背弦差,余數就是半弧弦。
因半背弦差在一微以下,所以不減,就用一度作為半弧弦。
將黃道半弧弦一度自乘,得一度作為股的冪。
黃道赤道小股五十六度零一九二自乘,得三千一百三十八度一五零七六八六四作為勾的冪。
兩個冪相加得三千一百三十九度一五零七六八六四焉弦實,開平方,得五十六度零二八一,就是赤道小弦。
將赤道半弧弦一度,乘以天圓半徑,即赤道大弦。
得六十度八七五作為被除數,以赤道小弦五十六度零二八一作為除敷相除,得一度零八分六十五秒,就是赤道的半弧弦。
將黃道赤道的小股五十六度零一九二,又是赤道小勾。
乘以赤道大弦天圓半徑六十度八七五,得三千四百一十度一六八八作為被除數,以赤道小弦作為除數相除,得六十度八十六分五十三秒,就是赤道橫大勾。
將天圓半徑六十度八十七分五十秒,減赤道大勾六十度八十六分五十三秒,余九十七秒,就是赤道橫弧矢。
將赤道橫弧矢九十七秒自乘,得九十四微零九,再以天圓直徑作除數輿之相除,得七十七纖,就是赤道背弦差。
將赤道半弧弦一度零八分六十五秒,加赤道背弦差,就是赤道的度數。
現在赤道背弦差在一微以下,舍棄不加,就用半弧弦作為度數。
共求得赤道度數為一度零八分六十五秒。
其余度數各自用上面的方法,求到各黃道度數下的赤道度數,兩敷相減,就得到黃道赤道差,這是冬至夏至后的比率。
按郭守敬創立的新方法有五條,其中一條是黃道赤道差,這就是它的數據。
舊方法用一百零一度相減相乘。
《授時歷》創立新方法,用勾股、弧矢、方圓、斜直所包含的內容,推求黃道赤道的差敷,合乎天象的原理,比古代更嚴密。
只是《至元歷經》的記載很筒略,又誤以黃道矢度為積差,黃道矢差為差率,現在予以糾正。
凡是圓周從中間剖開,就成了半圓。
任意切分半圓的一部分,就成了弧矢形,都有弧背,有弧弦,有矢。
切分出弧矢形的一半,就有半弧背,有半弧弦,有矢。
因為弦和矢就生出勾股形,以半弧弦焉勾,半徑減矢的余數為股,半徑為弦。
勾股內又形成小勾股,就有小勾、小股、小弦,而大小可以互相推求,平側可以互相利用,圓周的道理,這就很切近了。
平線是赤道,斜線是黃道。
因為冬至夏至黃道赤道的距離,生出大勾股。
因為各度黃道赤道的距離,生出小勾股。
外面的大圓是赤道。
從北極俯視,黃道在赤道之內,有赤道的各度,就有各度的半弧弦,以此生出大勾股。
又各有輿它們相應的黃道半弧弦,以此生出小勾股。
這二者可以互相推求。
按舊史書沒有圖,然而表也是和圓同類的。
現在勾股割圓弧矢的方法,實在是歷算家測算的根本。
沒有圖不能說明問題,因而保留其重要的幾幅。
推算黃道各度距離赤道的內外度數及距離北極遠近的方法。
將天圓半徑減去赤道小弦,余敷就是赤道兩個弦的差。
又是黃道赤道小弧的矢,又是內外矢,又是股弦差。
將半徑減去黃道矢的度數,余數就是黃道赤道的小弦。
將冬至夏至黃道赤道內外半弧弦輿黃道赤道小弦相乘作為被除數,以黃道赤道大弦作為除數,即半徑。
輿之相除就是黃道赤道小弧弦。
就是黃道赤道內外半弧弦,又是黃道赤道小勾。
將黃道赤道小弧矢自乘,即赤道兩弦的差。
除以直徑,就是半背弦差。
用這個差加黃道赤道小弧弦就是黃道赤道小弧半背,也就是黃道在赤道內外的度數。
根據黃道在赤道內外的度數,如果在盈初縮末象限表內就加,在縮初盈末象限表內就減,都加減象限表內的度數,就得到太陽距離北極的度數。
如冬至后黃道四十四度,求太陽距離赤道內外的度數及距離北極的度數。
方法是:將天圓半徑六十度八十七分半,減黃道四十四度時赤道小弦五十八度三十五分六十九秒,余二度五十一分八十一秒,就是黃道赤道小弧矢。
即內外矢。
將半徑六十度八七分半,減黃道四十四度時的矢一十六度五十六分八十二秒,余四十四度三十分六十八秒,就是黃道赤道小弦。
將黃道赤道小弦,用冬至夏至時黃道赤道內外半弧弦二十三度七十一分輿之相乘,得一千零五十度五十一分四二三八作為被除數,以黃道赤道大弦六十度八七五作為除數輿之相除,得十七度二十五分六十九秒,即黃道赤道小弧弦。
即內外半弧弦。
將黃道赤道小弧矢二度五十一分八十一秒自乘作為被除數,用直徑一百二十一度七十五分與之相除,得五分二十一秒就是背弦差。
用背弦差加黃道赤道小弧弦十七度二十五分六十九秒,得十七度三十分八十九秒,就是冬至夏至前后黃道四十四度時,太陽距離赤道的內外度。
將象限九十一度三十一分四十三秒七五,加內外度十七度三零八九,得一百零八度六十二分三十二秒七五,就是冬至后黃道四十四度時太陽距離北極的度數。
推算白道和赤道的降交點距離黃道赤道降交點的最大數值。
方法是:將寅測到的白道出入黃道內外的六度作為半弧弦,又是大圓的弦矢,又是股和弦的差。
將半徑六十度八七五自乘,得三干七百零五度七六五六二五,用矢六度與之相除,得六百一十七度六十三分為股弦的和,再加矢六度,共六百二十三度六十三分,就是大圓直徑。
按法則求得容闊五度七十分,又是小勾。
又以冬至夏至時出入半弧弦二十三度七十一分作為大勾。
以大勾作除數,除大股五十六度零六分五十秒,得二度三十七分就整敷而言為度差。
以度差乘小勾,得小股十三度四十七分八十二秒,就是容半長。
以半徑六十度八七五焉大弦,乘以小勾五度七十分作為被除數,以大勾二十三度七十一分焉除數輿之相除,得十四度六十三分就是小弦;又是白道赤道降交點距離黃道赤道降交點的半弧弦。
按法則求得半弧背十四度六十六貧,就是白道赤道降交點距離黃道赤道降交點的最大敷值。